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首宜注意者,所严格称为数学的命题,常为先天的判断而非经验的;盖因其具有不能自经验得来之必然性。设此点为人所否认,则我之论述愿限于纯粹数学,盖即此纯粹数学之概念,已含有不包含经验的知识而纯为纯粹先天的知识之意义。
吾人最初能以7+5=12之命题视为纯然分析的命题,以为由矛盾律自“七与五之和”一概念中推演而来。但吾人若更详加审察,则将见及此“七与五之和”一概念中,只含有二数连结为一之一事实,其中并未思及连结此二数之单一数为何数。仅思七与五之连结,决不能谓为已思及十二之概念;且即尽我之能以分析我所有此可能的和数之概念,亦绝不能在其中得十二之数。吾人须出此等概念之外而求助于“与二数中之一相应之直观”,例如吾人之五指,或(如昔格内尔之算术中所为)五点,即以此直观中所与之五单位,逐一加于七之概念上。盖吾人先取七数,又以“成为直观之五指”代五之概念,于是将我先所聚为五数之各单位,逐一加于七数上,借此手指形象之助,而后能成十二之数。至五之必须加于七上,我已在和数等于七加五之概念中思及之,但其中并不含有和数等于十二之意义。故算术的命题常为综合的。
吾人如采用较大数目,则此事当更明显。盖在较大数目时,愈见吾人任令如何穷究概念,若仅分析而不借助于直观,则决不能发见和数之为何数。
纯粹几何学之基本命题,同一非分析的。“两点间之直线为最短线”一命题,乃综合的命题。盖因“直”之概念并不包含“量”,而只表示其“质”。此最短之概念,纯为所加增者,任令如何分析,亦不能自直线之概念中得之。放必须求之直观;唯由直观之助,综合始可能。使吾人通常信为“此种必然的判断之宾词已包含在概念中,因而此判断为分析的”云云者,其原由全在所用名词之意义含混。在思维中,吾人必须加某一宾词于所与概念,此种必然性乃概念自身所固有者。但问题则不在吾人在思维中应以何者加之于所与概念,而在吾人实际在概念中所思维者为何(即令其意义不甚显著);是以宾词虽必须系附于此概念,但系附之者,乃由于所必须除加于此概念之直观,而非在概念自身中思维而得,此固彰彰明甚者也。
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